Нептун и Вулкан. Математика между открытием и вымыслом

3.2. Число как позиция, синтаксис без семантики, ритм до мелодии

В коридоре поликлиники каждый входящий первым делом спрашивает, кто последний, получает ответ и садится ждать. Через минуту из кабинета выглядывает медсестра, пробегает глазами по скамейкам и говорит новенькому: «Вы третий». Фраза не касается ни его жалобы, ни возраста, ни фамилии, ни того, пришёл он с температурой или за справкой для бассейна. Она не касается даже того, что он человек: на полке в регистратуре точно так же третьей может стоять папка с чьими-то анализами. «Третий» не говорит о своём предмете ровно ничего и при этом сообщает нечто совершенно точное: перед ним в кабинет войдут двое.

Порядковое число делает шаг, которого не хватало пустому знаку: оно не занимает место среди полных слов, оно само и есть место. Вычитание проведено до конца: из «третьего» выброшен предмет целиком — не на время, а в принципе. Поэтому «третий» подходит к чему угодно — к пациенту, к вагону, к ходу в партии, к абзацу в письме, ко дню недели — и ни в одном из этих случаев ничего не теряет и ничего не приобретает. По этой мерке кандидат почти безупречен: то, что можно было отнять, уже отнято.

Но стоит присмотреться, и у места обнаруживается собственное содержание. «Третий» невозможен без ряда. Перед ним кто-то стоит, и ровно столько, сколько нужно, чтобы он оказался третьим; после него может встать следующий; у ряда есть начало и направление, иначе непонятно, откуда считать. Человек в коридоре не сделал ни шага, но если кто-то впереди устал ждать и ушёл, медсестра скажет ему уже «вы второй». Его место изменилось, хотя сам он сидит там же, — потому что место принадлежит не ему, а ряду. Предмет из порядкового числа выброшен, зато в нём целиком живут порядок, «до» и «после», соседи с обеих сторон, и всё это не пустота, а содержание, только не предметное.

Второй кандидат отказывается уже не от предмета, а от значения. По известному рассказу, один лингвист, желая показать студентам, как работает язык, написал на доске фразу: «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка» (фраза принадлежит Л. В. Щербе и прославилась прежде всего благодаря книге Л. В. Успенского «Слово о словах», 1954; в разных источниках её написание слегка расходится). В ней нет ни одного корня, который значил бы хоть что-нибудь. И всё же любой, для кого русский язык родной, понимает её с первого прочтения. Была некая куздра, существо женского рода, чем-то примечательная — глокая. Она что-то сделала с бокром, сделала разом и, судя по «штеко», резко или ловко. А теперь продолжает что-то делать с бокрёнком, то есть, по всей видимости, с его детёнышем. Бокрёнка можно даже пожалеть.

В чём этот кандидат ближе к чистоте, видно сразу. Значение выключено, а система продолжает работать: она по-прежнему отличает правильное от неправильного. «Глокий куздра будланула» режет слух, хотя ни «глокий», ни «куздра» ничего не значат, и ошибку заметит всякий, пусть никто и не сумел бы объяснить, о чём говорит исправленная фраза. Правила сочетания действуют без опоры на то, что они сочетают. Можно пойти дальше и вообразить игру, где понимать нечего вовсе: два значка, кружок и черта, и одно правило — два одинаковых значка, стоящие рядом, разрешено заменить одной чертой. Одни строки таким переписыванием сводятся к одной черте, другие нет, и первые можно назвать правильными. Ни значений, ни существ, ни действий — только значки и то, что с ними позволено делать.

Но и этот кандидат дальше от чистоты, чем кажется. Правила фразы про куздру несут на себе очень много. Они сообщают, кто действует и над кем действуют, различают род и число, прошедшее и настоящее, разовое действие и длящееся. Окончание в слове «бокра» выдаёт, что бокр — существо живое: будь он вещью, было бы «будланула бокр», как говорят «задела стол». А суффикс в слове «бокрёнок» сообщает уже не о строе фразы, а о мире: у бокров бывают детёныши. Синтаксис, из которого значение будто бы вынули, оказывается переодетой семантикой — смыслом, спрятанным в окончания. Если же вычистить и окончания, как в игре кружков и черт, пропадает то, ради чего кандидата стоило рассматривать. Правила там произвольны, и судить о них нечем, кроме них самих. Нельзя даже сказать, перед нами код или занятие для терпеливого человека: различения в игре есть, но различать ими нечего.

Третий кандидат отказывается и от ряда, и от правил. Ночь, поезд, верхняя полка. Разговоры в вагоне стихли, и остался только стук колёс на стыках рельсов: удар, тишина, удар, тишина. Этот стук ни о чём не говорит — ни куда идёт поезд, ни скоро ли станция. Он никого не ставит в очередь и не требует согласовывать окончания. И всё же это не шум: стоит поезду выйти на участок, где рельсы сварены без стыков, и спящий может проснуться от того, что стук пропал. Так звучит ритм, взятый до всякого смысла, — то, что есть в песне ещё до мелодии: чередование звука и его отсутствия.

Ближе к чистоте, чем ритм, трудно что-нибудь придумать. Здесь нет ни предмета, ни места в ряду, ни правил сочетания, только различие звука и тишины. Ему не нужны ни слова, ни счёт: ребёнок стучит ложкой по столу раньше, чем начинает говорить, и задолго до того, как сможет сосчитать свои удары. Слух отличает удар от паузы прежде, чем узнаёт, что именно ударило. Удар отмечает: здесь что-то есть; пауза — здесь ничего нет. Это созвучно формуле «здесь что-то стоит», и созвучие соблазняет думать, будто ритм и есть нулевой знак, только растянутый во времени.

У ритма есть носитель, от которого его не отделить, — время. Один удар ещё не ритм, это просто звук. Ритм появляется, когда удар помнят до следующего и следующего ждут, а для этого нужен кто-то, кто длится: слушатель, у которого есть память, ожидание, пульс. И этот кто-то не остаётся в стороне. Часы тикают почти одинаково, а мы слышим «тик-так»: слух сам делит ровную череду ударов на сильные и слабые и складывает их в группы, которых в механизме нет. Шаги, дыхание, сердцебиение — ритм привязан к телу теснее любого другого кандидата. В самое голое различение, какое удалось найти, уже вмешался слушатель со своим телом.

Поставим трёх кандидатов рядом. Порядковое число выбросило предмет, но держится за ряд: без «до» и «после» его нет. Грамматика выбросила значение, но держится за язык: её правила сами различают роли, род, живое и неживое, а там, где их вычистили до конца, пропадает способ судить, код ли перед нами. Ритм выбросил и предмет, и правила, оставив одно различение звука и тишины, но держится за время и за тело, которое это время отмеряет. Каждый ближе к чистоте в одном и дальше от неё в другом, и ни одна из этих привязанностей сама собой не перевешивает остальные. Чтобы назвать победителя, пришлось бы решить, какая из них простительнее: к ряду, к языку или к телу. Такой мерки у нас нет.

Есть и возражение посерьёзнее: оно бьёт не по кандидатам, а по самому вопросу. Может быть, спрашивать, какой код пустее прочих, так же бессмысленно, как спрашивать, что длиннее — неделя или километр. Пустоту можно мерить тем, что выброшено, и тогда впереди ритм. Можно мерить тем, насколько свободно знак переходит от одного предмета к другому, и тогда впереди «третий». А можно — тем, насколько система работает сама, и тогда впереди грамматика, которая отличает правильное от неправильного, ничего не понимая. Сама надежда выстроить кандидатов по степени пустоты повторяет историю с «третьим»: место каждого в таком ряду задано не им самим, а тем, кто ряд выстроил и решил, откуда считать. Думаю, возражение справедливо, и отвечать на него выбором мерки было бы нечестно: мерку пришлось бы назначить самим, а потом удивляться, что победил тот, кого она заранее предпочла.

Но возражение показывает и другое. Все три попытки шли одним путём — вычитанием: снять предмет, снять значение, снять всё, кроме различия. И всякий раз вычитание упиралось в остаток, без которого код переставал быть кодом, а вместе с которым переставал быть чистым: ряд, язык, тело. Четвёртый кандидат, скорее всего, упёрся бы в тот же тупик с другим остатком. Тогда ошибка, возможно, не в кандидатах, а в направлении поиска. Что, если чистое в коде — вовсе не то, что остаётся, когда содержание убрано?

3.3. Мелодия в другой тональности: чистая форма как инвариант перевода

Есть напевы, которые знают все, хотя никто их специально не учил. Слов у такого напева либо нет, либо их давно не помнят, и живёт он не в одном месте, а сразу во многих. Утром его насвистывает сосед, выходя во двор с мусорным ведром, — сквозь зубы, вполсилы, но ни разу не сбиваясь. Днём он доносится из открытого окна музыкальной школы напротив: там ученик разбирает его на рояле одним пальцем, спотыкается и начинает заново. Вечером кто-то растягивает на лавке у подъезда гармонь, и напев звучит уже в полную силу, густо, с басами. А когда гармонист умолкает, пожилая женщина на балконе третьего этажа, снимая бельё, напевает то же самое, только ниже и медленнее, потому что голос у неё низкий и торопиться ей некуда.

Никто во дворе не сомневается, что весь день звучала одна и та же мелодия. Между тем, если сравнить эти исполнения звук за звуком, общего у них не найдётся почти ничего. Свист тоньше любого голоса, гармонь звучит иначе, чем рояль, и гармонист играет в другой тональности; женщина на балконе взяла всё ниже, а её неторопливость растянула каждую ноту. Ни одна нота не совпадает с оригиналом, да и самого оригинала здесь никто не слышал: напев знают только по чужим исполнениям. А если вечером отец и маленькая дочь запоют его вместе, их голоса разойдутся по высоте так далеко, что общего звука у них не окажется ни одного, и всё же любой прохожий услышит, что мужчина и ребёнок поют одну и ту же песню, только на разной высоте.

Проверить это можно и с другой стороны. Пусть ученик у рояля в одном месте промахнётся и нажмёт соседнюю клавишу. Звучание его игры изменится совсем чуть-чуть: одна нота из многих, и та сдвинута на самый маленький шаг. Женщина на балконе изменила каждую ноту, ни одна у неё не стоит на прежней высоте. Но всякий во дворе скажет, что поёт она правильно, а ученик сфальшивил. Если бы мелодия состояла из звуков, всё было бы наоборот: промах ученика оказался бы крошечной неточностью, а пение женщины — другой мелодией. Слух судит иначе, и судит без колебаний. Значит, то, что он проверяет, лежит не в звуках, из которых собрано исполнение. Что же тогда слышат все?

Мелодия — не звуки, а отношения между ними. Слышим мы, конечно, звуки, но узнаём не их, а то, как каждый следующий стоит к предыдущему: выше он или ниже, на маленький шаг или на большой скачок, задерживается ли напев на месте или возвращается туда, откуда вышел. Это рисунок движения, и начать его можно с любой высоты. Женщина на балконе взяла рисунок и опустила его целиком, ничего в нём не сдвинув; ученик сохранил почти все звуки, но в одном месте нарушил рисунок, и слух заметил именно это. Мужчина и ребёнок поют не одни и те же звуки, а один и тот же рисунок, начатый с разной высоты, — и поэтому все слышат, что мелодия «та же самая».

Здесь мне важно, чем этот ответ отличается от всех прежних. Отношения между звуками нельзя добыть вычитанием. Если убрать из исполнения звуки, никакого рисунка не будет — будет тишина, а в тишине нет ни «выше», ни «ниже». Рисунку нужно, чтобы было между чем его провести, и при этом он не совпадает ни с одним из звуков: отдельный звук не бывает выше сам по себе, он выше только соседа. Мелодия не прячется под звуками, как ядро под скорлупой, и её нельзя получить, счистив лишнее. Зато она выдерживает другую операцию: если заменить все звуки до единого, мелодия уцелеет.

Замену можно продолжить и за пределы звука. Мелодию можно протанцевать: в детском кружке учительница просит тянуться, когда напев идёт вверх, и приседать, когда он спускается — на маленьком шаге чуть-чуть, на большом скачке изо всех сил, — и замирать, когда он стоит на месте. По детям, не глядя на рояль, видно, куда и как далеко движется музыка. Её можно начертить линией, которая поднимается и падает вместе с напевом. Её можно записать значками на бумаге, где каждый значок говорит только, на сколько ступеней шагнуть и в какую сторону, — и такой ряд ничем не отличается от ряда чисел. В танце нет ни одного звука, в начерченной линии нет ни звука, ни движения, в ряду значков нет даже линии. Такой перенос кода с носителя на носитель я предлагаю называть переводом, а то, что при переводе сохраняется, — инвариантом, буквально «неизменяющимся». Дальше оба слова будут значить только это.

Теперь есть ответ, которого вычитание дать не могло. Чистая форма кода — не код без носителя, а форма, безразличная к носителю; инвариант, сохраняющийся при переводе между музыкой, танцем, числом. Поиск шёл так, будто чистая форма — вещество, из которого код сделан, и надо лишь отделить его от примесей. Философы называют такой предмет поиска субстанцией: тем, что лежит в основе вещи и существует само по себе, а не в чём-то другом. Но у мелодии не нашлось вещества, которое можно отделить, а определённой она оказалась вполне. Ряд, язык и тело, в которые упиралось вычитание, — не примеси: код всегда на чём-то держится. Чистая форма требует не того, чтобы носителя не было, а того, чтобы его можно было сменить.

У вывода о мелодии, на котором держится этот ответ, есть своя история. В 1890 году австрийский философ Кристиан фон Эренфельс опубликовал статью «О качествах формы» (Über Gestaltqualitäten), в центре которой стояло то же наблюдение: мелодию, перенесённую в другую тональность, узнают сразу, хотя все её звуки заменены другими. Будь мелодия суммой звуков, такая замена уничтожила бы её, а её узнают; значит, в ней есть нечто сверх звуков, не сводимое ни к одному из них. Это нечто он назвал качеством формы и приписал ему два признака: целое не складывается из частей и переживает замену всех частей. С этой статьи принято отсчитывать историю гештальтпсихологии — науки о том, как восприятие схватывает целые формы, — а мелодия Эренфельса, переходящая из тональности в тональность, стала её хрестоматийным примером.

Из той же мелодии вырастает и ещё одно наблюдение. Во дворе никому не пришло бы в голову спросить, чья это мелодия, соседа или гармониста: она как будто не принадлежит ни одному из исполнителей, каждый лишь берёт её на время. Чем больше переводов форма пережила, тем меньше она кажется привязанной к какому-либо носителю и тем легче поверить, что она существует сама по себе. Так переводимость кода между областями рождает веру в его объективность — в то, что он не придуман, а найден. Иллюзия это или свидетельство, из мелодии не решить. Может быть, форма, пережившая все переводы, говорит что-то о мире; может быть, только о том, как устроены сами переводы.

Но и этот ответ работает не везде, и видно это на той же мелодии. Попросите кого-нибудь простучать знакомый напев по столу, а другого — угадать его. Тому, кто стучит, кажется, что узнать нетрудно: у него в голове звучит всё, и высота, и гармонь, и голос с балкона. Слушатель же получает один ритм, и в известном опыте такие слушатели почти никогда не угадывали, хотя стучавшие рассчитывали, что их поймут примерно в половине случаев (опыт описан в диссертации Элизабет Ньютон, Стэнфордский университет, 1990). При грубом переводе рисунок «выше — ниже» не уцелел, и мелодия пропала. То же случится, если записать напев слишком бедно, одними стрелками «вверх» и «вниз», без различия шага и скачка: многие разные напевы сольются в один.

Выходит, инвариант не бывает инвариантом вообще, он сохраняется только в определённом круге переводов. Голос, свист, гармонь, танец в этот круг входят, стук по столу — нет. И задаёт этот круг не мелодия, а мы, когда решаем, какой перевод считать верным, а какой порчей: женщину, опустившую весь напев, мы признаём верной ему, ученика с одной ошибкой — нет. Значит, безразличие к носителю есть, но границы его проводит слушатель.

Поиск чистой формы начинался с вычитания: снимать с кода одно содержание за другим и смотреть, что будет, когда снимать станет нечего. Ни один кандидат этой проверки не выдержал, потому что проверка спрашивала не о том. Чистым оказывается не то, что останется, когда из кода уберут всё содержание, а то, что сохраняется, когда код переносят с носителя на носитель. Вопрос о чистой форме был задан как вопрос о субстанции, а ответить на него удалось только как на вопрос об инварианте. Этим операциональное понимание абстракции доведено до конца: она оказалась не объектом, а актом различения, и её чистая форма — тоже не субстанция, а инвариант. Мужчина и ребёнок, поющие одну и ту же песню на разной высоте, слышат «ту же самую» мелодию не вопреки тому, что у них не совпал ни один звук: совпадать и не должны были звуки.

Если форма тем чище, чем она безразличнее к носителю, то коды различаются тем, сколько переводов выдерживает их инвариант. А раз переводимость рождает веру в объективность, код, чей инвариант пережил больше переводов, чем любой другой, сильнее всех должен казаться не кодом, а устройством самого мира. Если чистая форма — это инвариант перевода, то у математики он оказался самым устойчивым. Почему? Мелодия объяснила, что такое устойчивость, но не откуда она берётся, и общий разговор о кодах этого не скажет. Искать ответ придётся там, где код родился, — у числа, которое ещё не умело обходиться без своего носителя.

Есть и сомнение, которое такой ответ вызывает сам, и честнее назвать его сейчас. Инвариант не живёт ни в свисте, ни в гармони, ни в приседаниях детей, ни в значках на бумаге; он живёт «между» ними, в том, что у них общее. Но форма, существующая помимо всех своих воплощений и узнаваемая в каждом из них, подозрительно похожа на платоновскую идею. Книга исходила из того, что абстракция — операция, а не вещь, и пришла к ответу, в котором легко расслышать возвращение вещи, только бестелесной и неизменной. Возможно, это лишь сходство слов, а возможно, первый след того, что форма и правда существует независимо от нас. Книга берёт этот вопрос в долг: вернуть его можно будет только тогда, когда тот же ход сделает физика и по тому, что сохраняется при смене описаний, станут судить уже не о песне, а о мире.

Часть II. Рождение кода